漱石枕流

勉強、開発したことのメモ

DCモーターのトルク定数と逆起電力定数は一致する

モーションコントロールで言うところのKtとKeの違いが気になってきたので、復習がてらまとめなおす。

定義

DCモーターではこの２つの値は一致するが、DCモーターによらない定義を始めに示す。

逆起電力定数Ke

逆起電力定数はその名の通りモーターの電気的な特性に由来し、モーターに流れた電流に対して反対向きに発生する電圧で、定義は

$\displaystyle V = K_{E} \omega$

である。レンツの法則による発生する誘導起電力は

$\displaystyle V = -\frac{d\Phi}{dt} = -\frac{d\Phi}{d \theta} \frac{d \theta }{dt}$

であるから、 $K_{E} = \frac{d\Phi}{d \theta}$ とも表せる。

$\omega$ 、すなわち機械的な運動に対してどれだけ電圧=電気特性が生まれるかを示す係数であると言える。

トルク定数Kt

モーターが発生するトルクはそれに流れる電流に比例し、発生したトルク $\tau$ に対して

$\displaystyle \tau = K_{T} i$

と定義される。これは電流=電気的特性からどれだけトルク=機械的特性が生まれるかを示すと言える。

DCモーター

DCモータの等価回路は、ブラシの電圧降下を無視すると以下のようになる。

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電気的な方程式

角速度を $\omega$ とすると逆起電圧は $K_{E} \omega$ であるから、端子電圧 $v$ は次のように表される。

$\displaystyle v = Ri + L \frac{di}{dt} + K_{E} \omega$

機械的な方程式

出力トルクはトルク定数を $K_{T} i$ として $\tau = K_{T} i$ であるから、

$\displaystyle J \frac{\omega}{dt} = \tau - \tau_{L}$

ただし負荷側トルクを $\tau_{L}$ とする。

ブロック線図

信号の流れを

電圧(入力)
電流
トルク
角速度

の順番とするとブロック線図は以下のようになる。

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DCモーターのブロック線図

電気的エネルギーと機械的エネルギー

電力に関する方程式は以下のようになる。

$\displaystyle vi = Ri^{2} + Li \frac{di}{dt} + K_{E}i \omega = Ri^{2} + \frac{d}{dt} \left( \frac{1}{2}Li^{2} \right) + K_{E}i \omega$

それぞれ第一項はモーター内の銅損項、第二項はインダクタに蓄えられるエネルギーの変化、第三項は機械出力を表す。その機械出力は力学的な仕事率としては

$\displaystyle \tau \omega = K_{T}i \omega$

と表されるはずであるから、それぞれを比べると $K_{T} = K_{E}$ が結論される。

電圧制御と電流制御

もしDCモーターに対して電圧制御を行う場合、電機子抵抗とインダクタンスの部分がLPFになっているため、立ち上がりが遅くなってしまう(速い変化、すなわち高周波成分を妨げるため)。一方図のようにオペアンプで駆動すると、(オペアンプが理想的である限り)コイルの周波数特性にかかわらず指定した電流を流せてしまう。理由はオペアンプの出力が電圧源であるためである。

DCモーターのトルク、速度、角度制御システム

先ほどのDCモーターのトルクや速度、角度の制御を行うことを考える。まず始めにトルクから始め、その後制御器を付け加えることで速度、角度の制御系を組む。

トルク制御

トルクの値を指令値に一致させることが目的であるが、残念ながらトルクの値を直接はフィードバックできない。代わりにフィードバックできるセンサ情報としてDCモーターに流れる電流値が挙げられる。そこでトルク定数の式 $\tau = K_{T} i$ を思い出すと、入力 $\tau^{*}$ をトルク定数の公称値 $\hat{K_{T}}$ で割った電流指令 $i^{*}$ を参照値にすれば良い。そしてその参照値とセンサ値の差に対して電圧指令を計算する制御器を設計し、その指令値の電圧を発生する電源をDCモーターに接続すれば良い。というわけでブロック図は以下のようになる。

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トルク定数の公称値が実際のモデルと正しければ、このシステムの伝達関数はほぼ１とみなすことができる。

速度制御系

さらにPI制御器を頭に付け、角速度の差からトルクを出力するようにする。

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角度制御系

角速度に積分器をつけ、フィードバック誤差に対してPID制御を行う。

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